就活が順調なように見えているのと昨日やった集合論について

就活順調そうに見えている

恋人からの応援も受けてミイダスで募集をかけてみたところ2社オファーがきたのだ

そのうちの1社は火曜日に面接を受けて一次試験を来週の月曜6/21に受けることになりそうだ

もう1社は今日6/19の15時から面接が入っているそこでどうなるかは見ものだが俺としては1社目を受けることになるかもしれない

2社目はお堅い雰囲気で俺には合わなそうな予感を感じている

そうも言ってられないのだから面接は受けようと思う

もしかしたらいい雰囲気の会社かもしれないむしろそうであってほしいと願っている

緊張はしないがさりとてぼーっとしてもいられないのである

そういえば

集合論の勉強も順調だ昨日は恩師と共に恒例の集合論のゼミを開催した

そこで学んだことは次のことである

非空の順序数のクラスCが以下の条件を満たすときCはOrdである

(1)0∈C

(2)α∈Cならばα+1∈C

(3)αが非零なる極限順序数でありかつβ<αなる全てのβに対してβ∈Cならばα∈C

証明は

「C=Ordでないと仮定すると¬α∈Cなる最小の順序数αが得られるこれに(1)(2)(3)を適用せよ」となる

この¬α∈Cなる順序数が存在することは「順序数からなる非空のクラスの共通部分を取るとそれがそのクラスの中の最小の順序数である」という定理から導かれる

C≠OrdとするとOrd-Cが考えられるこれは少なくともクラスであるのでこれの共通部分を取ると¬α∈Cなる最小の順序数αが得られるということである
得られたαがとりうる順序数の形を場合分けを用いて議論してみる

まずはαが0の時である

この時(1)より0∈Cであるから¬α∈Cと矛盾する

次にαが後続型順序数である時である

この時あるβを用いてα=β+1と書けるよって¬β+1∈Cである

(2)の対偶により¬β∈Cであるがβ<αでありαは「Cに属さない最小の順序数」であることに反するよって矛盾である

最後にαが0でない極限順序数の時である

αは非零の極限順序数でありまた「αはCに属さない最小の順序数」であることからβ<αなる全てのβに対してβ∈Cであることが言える

これは(3)の条件を満たし α∈Cであるこれは¬α∈Cと矛盾する

したがって上記の議論によってαがとりうる全ての順序数の場合において¬α∈Cが否定されたためこのような「C=Ordでない」という命題は棄却され「C=Ordである」が導かれたのである

Jechではこの定理を「超限帰納法の定理」としているが普段我々が目にするような「0の場合での定義」「後続型順序数の場合の定義」「極限順序数の場合の定義」という三段ステップを踏んでいるかのように見える

これ以上は想像なのでもし間違っていたらマサカリを投げてほしいのだが

超限帰納法は順序数全体を渡る帰納法で全体を渡らせるためにはこのような三段ステップを踏ませることによって実現しているのではないかと考えている

超限再帰の定理がこの後に待っているがおそらくは似たようなものになるのではないかと考えている

さてここで筆をおこうじゃないか

読んでくれてありがとう

ばいちゃ